Orizzonte visibile
tra due stazioni
Distanza tra due stazioni e orizzonte visibile.
Osservate la seguente formula semiempirica che mi sono permesso di integrare, per mio sfizio, modificando il fattore 3,57 ( l'approssimazione della radice quadrata del diametro terrestre), in 3568,59, aggiungendo altre cifre in modo da calcolare in metri anzicchè in Km. Tale fattore, da solo, esprime la visibilità diciamo unitaria: da un punto raso suolo ad un altro ad altezza di un metro, che può incrementarsi, salendo di quota, secondo la radice quadrata della quota considerata. Vedi Fgura 2: risolvendo con Pitagora, l'ipotenusa costituita dal raggio terrestre "R" più l'altezza della postazione "BC" è soggetta a radice quadrata, ma come lo è per intero, lo è anche per una sola sua parte, nello specifico per il tratto "BC" .
N.B.: Per il valore medio del raggio terrestre mi sono servito della seguente misura 6367442 metri; "EC" è la distanza tra due stazioni; Htx e Hrx sono le altezze, dal livello del mare, delle due stazioni, espresse in metri; le quote di Htx e Hrx non devono essere necessariamente uguali.
La formula è stata ricavata induttivamante, da un ragionamento geometrico (la si ottiene forse un po' a forza), ma so che funziona benissimo, al confronto con quella che mi sono ricavato rigorosamente in via geometrica.
Ve la propongo senz'altro e provo a spiegarvi, in maniera elementare, come vi si giunge:
Distanza in metri = 3568,59 * (√ Htx +√ Hrx);
Osservate la seguente formula semiempirica che mi sono permesso di integrare, per mio sfizio, modificando il fattore 3,57 ( l'approssimazione della radice quadrata del diametro terrestre), in 3568,59, aggiungendo altre cifre in modo da calcolare in metri anzicchè in Km. Tale fattore, da solo, esprime la visibilità diciamo unitaria: da un punto raso suolo ad un altro ad altezza di un metro, che può incrementarsi, salendo di quota, secondo la radice quadrata della quota considerata. Vedi Fgura 2: risolvendo con Pitagora, l'ipotenusa costituita dal raggio terrestre "R" più l'altezza della postazione "BC" è soggetta a radice quadrata, ma come lo è per intero, lo è anche per una sola sua parte, nello specifico per il tratto "BC" .
N.B.: Per il valore medio del raggio terrestre mi sono servito della seguente misura 6367442 metri; "EC" è la distanza tra due stazioni; Htx e Hrx sono le altezze, dal livello del mare, delle due stazioni, espresse in metri; le quote di Htx e Hrx non devono essere necessariamente uguali.
La formula è stata ricavata induttivamante, da un ragionamento geometrico (la si ottiene forse un po' a forza), ma so che funziona benissimo, al confronto con quella che mi sono ricavato rigorosamente in via geometrica.
Ve la propongo senz'altro e provo a spiegarvi, in maniera elementare, come vi si giunge:
Distanza in metri = 3568,59 * (√ Htx +√ Hrx);
Dal mio punto di vista non sono riuscito, geometricamente, a far di meglio:
( BC, ED, EA, AC, EC ricordo che sono in maiuscolo, quindi segmenti e non prodotti di monomi);
(DE e BC sono espressi in metri); affidandoci a Pitagra:
AC = √ [( R + BC ) ² - R ² ] , cioè √ ( R ² + BC ² + 2R*BC - R ² ); + R ² e - R ² si elidono come opposti, resta
AC = √ (BC ² + 2R*BC), mentre nel caso di AE:
AE = √ (DE² + 2R*DE ), quindi , raccogliendo a fattore comune in entrambi i casi e sommando membro a membro:
:EC = AE + AC = √ [BC*( 2R + BC)] + √ [DE* ( 2R + DE)], (uso le parentesi quadre per evidenziare, non servirebbero),
Però ora, se BC e DE possono essere diversi, a rigore, stiamo operando una microscopica forzatura, che tuttavia, considerando irrilevante l'errore che ci porta sul calcolo, ci consente di procedere pure.
E' perfettamente lecito, nel caso e solo nel caso in cui BC = DE, considerare:
√ (2R + BC) e √ (2R + DE) , con BC e DE= 1 mt., uguali a 3568,59 (ecco quindi il fattore unitario di cui parlavo), allora possiamo moltiplicare questa "costante" per la somma delle radici quadrate degli incrementi di BC e AC (come fossero multipli di 1 mt.) e otteniamo:
EC = √ BC * √( 2R + 1) + √ DE * √( 2R + 1), raccogliendo a fattore comune ( ricordiamoci, però, che dove compare 2R, BC = DE= 1 ):
EC = √( 2R + 1) * (√ BC + √ DE) e finalmente:
EC = 3568,59 * ( √ BC + √ DE ), espresso in metri,
Altre formulette simili, ma non uguali, che corrono su Internet, sono sbagliate: mi è capitato di leggere: "la radice quadra della somma", anzicchè "la somma delle radici quadrate"; oppure trovare la formuletta nella seguente forma: "EC = 3,57 * √ BC + √ DE" ed altre furfanterie simili.
Inoltre se vogliamo solo l'orizzonte visibile:
AC = 3568,59 * √ BC ;
esattamente quanto sopra.
Adesso lavoreremo, giustamente, con variazione quadratica, sulle radici quadrate dei valori (multipli di 1 metro) assunti, di volta in volta, da Htx = BC e Hrx = DE. Se invece ci esprimiamo in Km con la costante uguale a 3,57 ? ...cambia quasi nulla e ci togliamo anche il fastidio di servirci del diametro medio terestre. Mi direte: "l'hai fatto apposta perchè sei grafomane...!" - Ebbene.. sì!!-
( BC, ED, EA, AC, EC ricordo che sono in maiuscolo, quindi segmenti e non prodotti di monomi);
(DE e BC sono espressi in metri); affidandoci a Pitagra:
AC = √ [( R + BC ) ² - R ² ] , cioè √ ( R ² + BC ² + 2R*BC - R ² ); + R ² e - R ² si elidono come opposti, resta
AC = √ (BC ² + 2R*BC), mentre nel caso di AE:
AE = √ (DE² + 2R*DE ), quindi , raccogliendo a fattore comune in entrambi i casi e sommando membro a membro:
:EC = AE + AC = √ [BC*( 2R + BC)] + √ [DE* ( 2R + DE)], (uso le parentesi quadre per evidenziare, non servirebbero),
Però ora, se BC e DE possono essere diversi, a rigore, stiamo operando una microscopica forzatura, che tuttavia, considerando irrilevante l'errore che ci porta sul calcolo, ci consente di procedere pure.
E' perfettamente lecito, nel caso e solo nel caso in cui BC = DE, considerare:
√ (2R + BC) e √ (2R + DE) , con BC e DE= 1 mt., uguali a 3568,59 (ecco quindi il fattore unitario di cui parlavo), allora possiamo moltiplicare questa "costante" per la somma delle radici quadrate degli incrementi di BC e AC (come fossero multipli di 1 mt.) e otteniamo:
EC = √ BC * √( 2R + 1) + √ DE * √( 2R + 1), raccogliendo a fattore comune ( ricordiamoci, però, che dove compare 2R, BC = DE= 1 ):
EC = √( 2R + 1) * (√ BC + √ DE) e finalmente:
EC = 3568,59 * ( √ BC + √ DE ), espresso in metri,
Altre formulette simili, ma non uguali, che corrono su Internet, sono sbagliate: mi è capitato di leggere: "la radice quadra della somma", anzicchè "la somma delle radici quadrate"; oppure trovare la formuletta nella seguente forma: "EC = 3,57 * √ BC + √ DE" ed altre furfanterie simili.
Inoltre se vogliamo solo l'orizzonte visibile:
AC = 3568,59 * √ BC ;
esattamente quanto sopra.
Adesso lavoreremo, giustamente, con variazione quadratica, sulle radici quadrate dei valori (multipli di 1 metro) assunti, di volta in volta, da Htx = BC e Hrx = DE. Se invece ci esprimiamo in Km con la costante uguale a 3,57 ? ...cambia quasi nulla e ci togliamo anche il fastidio di servirci del diametro medio terestre. Mi direte: "l'hai fatto apposta perchè sei grafomane...!" - Ebbene.. sì!!-
Eppure non mi sento ancora pienamente appagato, perchè mi stuzzica considerare due stazioni, diciamo, alla quota terrestre più alta? ... circa 10000 metri ? bene:
EC= 3568,59 * ( √ 10000 + √ 10000 ) = 713,718 Km,
"parbleu" (senza riferimento al colore dello scritto) due stazioni a quella quota, una in Liguria e l'altra in Sicilia, non si "vedrebbero": "vive la vue élettromagnétique" scusate il francese maccheronico.... e vi risparmio le altezze per collegarci otticamente a 1000 Km, lascio a voi ...?
..no? ... ve lo dico: 20000 metri per ogni stazione.
"Dulcis in fundo": in realtà la portata ottica è, quasi sempre, superiore a 3,57 e, per fenomeno di rifrazione dovuto a strati di maggiore o minore densità, può arrivare a 4 e 4,1, mentre per fenomeno di "visibilità elettromagnetica" possiamo contare anche su un 6,4 ( 3,57 * 1,8).
EC= 3568,59 * ( √ 10000 + √ 10000 ) = 713,718 Km,
"parbleu" (senza riferimento al colore dello scritto) due stazioni a quella quota, una in Liguria e l'altra in Sicilia, non si "vedrebbero": "vive la vue élettromagnétique" scusate il francese maccheronico.... e vi risparmio le altezze per collegarci otticamente a 1000 Km, lascio a voi ...?
..no? ... ve lo dico: 20000 metri per ogni stazione.
"Dulcis in fundo": in realtà la portata ottica è, quasi sempre, superiore a 3,57 e, per fenomeno di rifrazione dovuto a strati di maggiore o minore densità, può arrivare a 4 e 4,1, mentre per fenomeno di "visibilità elettromagnetica" possiamo contare anche su un 6,4 ( 3,57 * 1,8).